在随机块模型中恢复非对称社区

我们考虑了度不具备信息量的稀疏随机块模型。两个社区大小近似相等的情况已被广泛研究，而我们在此集中讨论非平衡社区情况下的社区检测问题。在此设定下，已知基于非回溯矩阵的谱算法在信号足够强（即高于所谓的 Kesten Stigum 阈值）时能够解决社区检测问题（即严格优于随机猜测）。在此参数区间内，且当平均度趋于无穷大时，我们证明了如果揭示了趋于零比例的顶点社区，则局部算法（置信传播）在降至 Kesten Stigum 阈值时是最优的，并且我们显式量化了其性能。在 Kesten Stigum 阈值以下，我们证明了在高度极限下存在第二个阈值，称为 spinodal 曲线，低于此曲线时社区检测问题不可解。当最小社区中的顶点比例超过 $p^*=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}$ 时，spinodal 曲线等于 Kesten Stigum 阈值，因此在这种情况下 Kesten Stigum 阈值就是社区检测可解性的阈值。然而，当最小社区小于 $p^*$ 时，spinodal 曲线仅提供可解性阈值的下界。在低于 Kesten Stigum 界且高于 spinodal 曲线的参数区间内，我们还刻画了最佳局部算法的性能作为已揭示顶点比例的函数。我们的证明依赖于对树上相关重构问题的仔细分析，这可能具有独立的意义。特别地，我们证明了 spinodal 曲线对应于树上的重构阈值。