局部统计、半定规划与社区检测

我们提出用于推断问题的半定规划松弛的新层次。作为测试用例，我们考虑块模型中的社区检测问题。顶点被划分为 $k$ 个社区，并在给定数量的社区间与社区内边的条件下采样图。检测问题要求以高概率判断一个图是来自该模型还是来自正则图上的均匀分布，据猜想其在称为Kesten-Stigum（KS）阈值的点发生计算相变。本工作中，我们考虑两种随机图模型，即被广泛研究的（非正则）随机块模型，以及我们将称之为度正则块模型的一类随机正则图分布。对这两种模型，我们证明了我们层次中足够高的常数层可在任意接近KS阈值处执行检测，且我们的算法对多达线性数量的对抗性边扰动具有鲁棒性。此外，在度正则块模型（DRBM）情形下，我们证明低于Kesten-Stigum阈值时任何常数层都无法做到。在（非正则）随机块模型情形下，已知高效算法一直可下探至该阈值，但当平均度较小时没有算法对图的线性数量对抗性扰动具有鲁棒性。更重要的是，几乎没有复杂性理论证据表明阈值以下检测是困难的。在具有多于两个组的DRBM中，据我们所知尚未证明有任何算法可成功下探至KS阈值，更不用说鲁棒地做到，且在此点以下同样缺乏困难性证据。