Non-uniform hypergraph stochastic block model 中的 Kesten-Stigum 界限的实现

我们研究了非均匀超图随机块模型（non-uniform HSBM）中的社区检测问题，其中存在大小不同的超边。这一设置捕捉了更高阶和多视图相互作用，提出了一个根本性问题：多个低于检测阈值的均匀超图层是否可以组合以实现弱恢复？我们通过为具有 r 个块的通用类非均匀 HSBM 建立 Kesten--Stigum 类型界限来回答此问题。对于 r=2 的情况，我们显示，只要所有均匀超图层的信噪比之和超过 1，即可实现弱恢复，从而确认了 (Chodrow et al., 2023) 中 conjectures 的正部分。此外，我们提供了一个基于最优加权非背向算子实现此阈值的多项式时间谱算法。对于未加权非背向矩阵，我们的谱方法达到不同的算法阈值，也被 conjectures 于 (Chodrow et al., 2023)。我们的方法发展了针对非均匀超图的加权非背向算子谱理论，包括对离群特征值和特征向量重叠的精确刻画。我们引入了针对加权非均匀超图的新式 Ihara--Bass 公式，这导致高效的低维表示并导致可证明的谱重建算法。总体而言，这些结果为在非均匀超图中进行聚类提供了一个原则且计算高效的方法，凸显了在聚合异构更高阶相互作用时最优加权的作用。