带边信息的社区检测：随机块模型下的精确恢复

社区检测问题涉及基于观测图边对图中节点标签进行推断。本文研究了在含 $n$ 个节点的二值随机块模型（stochastic block model, SBM）中，额外的非图边侧信息对精确恢复相变的影响。当侧信息由错误概率为 $\alpha$ 的含噪标签构成时，表明当且仅当 $\log(\frac{1-\alpha}{\alpha})=\Omega(\log(n))$ 时相变得到改善。当侧信息由揭示 $1-\epsilon$ 比例标签构成时，表明当且仅当 $\log(1/\epsilon)=\Omega(\log(n))$ 时相变得到改善。对于由 $K$ 个特征构成的更一般侧信息，研究了两种情形：(1) $K$ 固定而各特征相对于对应节点标签的似然随 $n$ 演化；(2) 特征数 $K$ 随 $n$ 变化但各特征的似然固定。在每种情形下，我们查明侧信息何时改善精确恢复相变以及改善多少。所计算的精确恢复必要与充分条件除一种特殊情况外均为紧的。在推导内界的过程中，提出了一种带侧信息社区检测的高效算法变体，其将部分恢复算法与局部改进过程相结合。