从审查边测量中解码二元节点标签：相变与高效恢复

我们考虑通过观测部分顶点相关性将图 $G$ 聚类为两个社区的问题。具体而言，我们研究逆问题，其观测变量为 $Y=B_G x \oplus Z$，其中 $B_G$ 是图 $G$ 的关联矩阵，$x$ 是未知顶点变量向量（具有均匀先验），$Z$ 是具有 Bernoulli$(\varepsilon)$ 独立同分布项的噪声向量。所有变量和运算均为布尔型。该模型由编码、同步和社区检测问题所驱动。特别地，它对应于具有两个社区和审查边的随机块模型或相关聚类问题。在无噪声情况下，当且仅当图 $G$ 连通时，才能精确恢复 $x$（至多全局翻转），对于 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图，其边概率存在 $\log(n)/n$ 的尖锐阈值。本文的首要目标是确定在存在噪声的情况下，边概率 $p$ 需要如何缩放才能实现精确恢复。定义图的度（过采样）率为 $\alpha =np/\log(n)$，结果表明，当且仅当 $\alpha >2/(1-2\varepsilon)^2+ o(1/(1-2\varepsilon)^2)$ 时，精确恢复是可能的。换言之，$2/(1-2\varepsilon)^2$ 是低信噪比下精确恢复的信息论阈值。此外，我们提出了一种基于半定规划的高效恢复算法，并证明其在阈值范围内直至最优率的两倍时均能成功。对于确定性图 $G$，定义度率为 $\alpha=d/\log(n)$，其中 $d$ 是图的最小度，结果表明所提方法实现了 $\alpha> 4((1+\lambda)/(1-\lambda)^2)/(1-2\varepsilon)^2+ o(1/(1-2\varepsilon)^2)$ 的率，其中 $1-\lambda$ 是图 $G$ 的谱隙。