双组分高斯混合模型中的尖锐最优恢复

本文研究双组分高斯混合模型中的聚类问题，其中两类中心相距 $2\Delta$（$\Delta>0$）。我们刻画了精确的相变阈值，由 $$\bar{\Delta}_n^{2} = \sigma^{2}\left(1 + \sqrt{1+\frac{2p}{n\log{n}}} \right)\log{n}$$ 给出，使得当 $\Delta\ge(1+\varepsilon)\bar \Delta_n$ 时以高概率可实现社区的完美恢复，而当 $\Delta\le (1-\varepsilon)\bar \Delta_n$（任意常数 $\varepsilon>0$）时则不可能。这意味着在临界维数 $p^{*}=n\log{n}$ 处存在肘部效应。我们给出了相应极小极大汉明风险的非渐近下界，改进了现有结果。据我们所知，这是首个捕捉到对 $p$ 正确依赖关系的下界。我们还提出了一种最优、高效且自适应的过程，它是极小极大速率最优的。当样本量趋于无穷时，该速率最优性在渐近意义下亦是尖锐的。我们的过程基于一种由谱方法初始化的 Lloyd 迭代变体——一种被从业者广泛使用的流行聚类算法。数值研究证实了我们的理论发现。