亚高斯混合模型半定规划的隐藏整数性与半随机鲁棒性

我们考虑在亚高斯混合模型下估计离散聚类结构的问题。我们的主要结果确立了该问题的一个半定规划(SDP)松弛的隐藏整数性质：尽管 SDP 的最优解通常不是整数值的，其估计误差可被一个理想化的整数规划的上界所界定。我们进一步证明了该整数规划的误差，进而 SDP 的误差，随信噪比呈指数衰减。此外，我们证明了 SDP 松弛在半随机设定下具有鲁棒性，在该设定中对手可以修改由混合模型生成的数据。特别地，我们将隐藏整数性质推广到半随机模型，从而证明 SDP 在此设定下达到了最优误差界。这些结果共同突显了驱动 SDP 松弛性能的“由全局到局部”机制。据我们所知，我们的结果是混合模型的凸松弛中首个呈指数衰减的误差界。我们结果的一个推论表明，在某些区域内 SDP 的解实际上是整数的且精确的。更一般地，我们的结果确立了 SDP 正确恢复 $(1-\delta)$ 比例点的簇归属的充分条件，其中 $\delta\in(0,1)$。作为一个特例，我们证明了在 $d$ 维随机球模型下，当中心间距小至 $\sqrt{1/d}$ 时，SDP 即可实现非平凡（有时是精确的）恢复，这改进了以往需要常数间距的精确恢复结果。