通过半定规划在非同步与块模型中鲁棒地达到贝叶斯错误率

我们研究了在随机图模型下用于聚类的半定规划（SDP）松弛的统计性能。在 $\mathbb{Z}_{2}$ 同步模型、删失块模型和随机块模型下，我们证明 SDP 达到了形如 $$\exp\Big[-\big(1-o(1)\big)\bar{n} I^* \Big].$$ 的错误率。这里 $\bar{n}$ 是节点数的适当倍数，$I^*$ 是信噪比的信息论度量。我们为每个模型提供了贝叶斯错误率的下界匹配结果，从而证明 SDP 方法是贝叶斯最优的。作为推论，我们的结果意味着 SDP 在每个模型下都达到了最优的精确恢复阈值。此外，我们证明 SDP 是鲁棒的：在上述模型被单调对手修改观测图的半随机版本中，上述界仍然有效。我们的证明基于一种新颖的 primal-dual 分析，在统一框架下处理所有三个模型，并且该分析表明 SDP 紧密近似了一种联合多数投票过程。