局部差分隐私下支持恢复相变

我们研究高维但稀疏均值模型中的变量选择问题，并附加仅可使用隐私化数据进行推断的约束。原始数据为各分量独立的向量，其在 $\mathbb{R}$ 上具有对称、强对数凹分布。为此，我们采用近期将经典极小极大理论推广至局部 $\alpha-$差分隐私框架的成果。我们对在非零坐标与 $0$ 相隔常数 $a>0$ 的至多 $s$-稀疏向量类上期望 Hamming 损失的收敛速率给出了下界和上界。作为推论，我们导出了精确恢复与几乎完全恢复的必要和充分条件（相差对数因子）。当我们将注意力限制于独立作用于各坐标的非交互机制时，我们的下界表明，与非隐私情形相反，在高维机制 $n \alpha^2/ d^2\lesssim 1$ 下，无论 $a$ 取何值，精确恢复与几乎完全恢复均不可能。然而，在 $n\alpha^2/d^2\gg \log(d)$ 机制下，我们可以给出一个临界值 $a^*$（相差对数因子），使得对所有 $a\gg a^*$ 精确与几乎完全恢复可能，而对 $a\leq a^*$ 则不可能。我们表明，当允许所有非交互（全局作用于所有坐标）的局部 $\alpha-$差分隐私机制时，这些结果可得到改善，即相变在更低水平上发生。