局部差分隐私约束下收敛速度的几何化

我们研究在原始独立同分布样本$X_1,\dots, X_n$通过$\alpha$-局部差分隐私约束对统计学家也保密的情况下，估计未知概率分布$\mathbb P \in\mathcal P$的泛函$\theta(\mathbb P)$的问题。令$\omega_{TV}$表示泛函$\theta$在$\mathcal P$上相对于全变距离的模连续性。对于一大类损失函数$l$和固定的隐私水平$\alpha$，我们证明在正则条件下（特别地，若$\theta$为线性且$\mathcal P$为凸时满足），私有化极小极大风险在常数因子内等价于$l(\omega_{TV}(n^{-1/2}))$。我们的结果补充了Donoho和Liu(1991)所发展的理论，涵盖了当今高度相关的私有化数据情形。有些令人意外的是，私有情形下估计问题的困难性由$\omega_{TV}$刻画，而若原始数据$X_1,\dots, X_n$可用，则由Hellinger模连续性刻画。我们还发现，对于凸模型上线性泛函的局部私有估计，基于独立二值私有化观测的简单样本均值估计量总能达到极小极大速率。我们进一步给出了在最优二值私有化机制中选择泛函参数的一般方法，并在众多例子中阐释了该一般理论。我们的理论能够量化一大类估计问题中为局部差分隐私所付出的代价，该代价高度依赖于具体问题。