隐私约束下的估计效率

我们研究在由另一随机变量 $X\in \mathcal{X}$ 规定的隐私约束下估计随机变量 $Y\in \mathcal{Y}$ 的问题，其中估计效率与隐私通过两种不同的损失函数评估。在离散情形下，我们使用汉明损失函数，并将相应的效用-隐私权衡表示为隐私约束猜测概率 $h(P_{XY}, \epsilon)$，即给定辅助随机变量 $Z\in \mathcal{Z}$ 时正确猜测 $Y$ 的最大概率 $\mathsf{P}_\mathsf{c}(Y|Z)$，其中最大化取遍所有满足对给定隐私阈值 $\epsilon \geq 0$ 有 $\mathsf{P}_\mathsf{c}(X|Z)\leq \epsilon$ 的 $P_{Z|Y}$。我们证明 $h(P_{XY}, \cdot)$ 是凹且分段线性的，这使我们能在 $X$ 与 $Y$ 为二元时推导出任意 $\epsilon$ 下的闭式表达。在非二元情形下，假设 $Z$ 取值于 $\mathcal{Y}$，我们推导了高效用区间（即 $\epsilon$ 足够大时）的 $h(P_{XY}, \epsilon)$。我们还分析了两种二元向量场景下的隐私约束猜测概率。当 $X$ 与 $Y$ 为连续随机变量时，我们使用平方误差损失函数，并将相应效用-隐私权衡表示为 $\mathsf{sENSR}(P_{XY}, \epsilon)$，即从 $Y$ 的高斯扰动 $Z$ 估计 $Y$ 所产生的最小归一化最小均方误差（mmse），且对任意非常数实值函数 $f$，$f(X)$ 给定 $Z$ 的 mmse 在 $f(X)$ 方差的 $\epsilon$ 范围内。当 $Y$ 为高斯时，我们导出 $\mathsf{sENSR}$ 的紧上下界。对于一般的绝对连续随机变量，当 $\epsilon$ 足够小时，我们也获得了 $\mathsf{sENSR}(P_{XY}, \epsilon)$ 的紧下界。