$\ell_p$ 损失下 $1\le p\le 2$ 的最优局部私有估计

我们考虑在局部差分隐私约束下支持大小为 $k$ 的离散分布的最小最大估计问题。对 each 原始样本独立施加隐私化方案，并需从隐私化样本中估计原始样本的分布。正数 $\epsilon$ 度量隐私化方案的隐私水平。在我们先前的工作（IEEE Trans. Inform. Theory, 2018）中，我们提出了一族新的隐私化方案及相应估计量。我们还证明了在 $e^{\epsilon} \ll k$ 情形下，我们的方案与估计量在 $\ell_2^2$（均方）与 $\ell_1$ 损失下均为阶最优。本文通过证明所提方案在 $\ell_p^p$ 损失下对所有 $1\le p\le 2$ 的渐近最优性，锐化了该结果。更确切地说，我们证明对任意 $p\in[1,2]$ 及任意 $k$ 与 $\epsilon$，当样本数趋于无穷时，我们方案的最坏情况 $\ell_p^p$ 估计损失与最优值之比趋于 $1$。作为证明的一部分所建立的私有估计最小最大风险的的下界，对任意损失函数 $\ell_p^p, p\ge 1$ 均成立。