均方误差下的渐近最优隐私估计

我们考虑在局部差分隐私约束下，支撑集大小为 $k$ 的离散分布的极小极大估计问题。对每个原始样本独立应用隐私化方案，我们需要从隐私化样本中估计原始样本的分布。正数 $\epsilon$ 衡量隐私化方案的隐私水平。在我们之前的工作（arXiv:1702.00610）中，我们提出了一族新的隐私化方案及相应的估计器。我们还证明了在 $e^{\epsilon} \ll k$ 的情形下，我们的方案和估计器在 $\ell_2^2$ 和 $\ell_1$ 损失下均为阶最优。换言之，对于大量样本，我们方案的最坏情况估计损失与最优值之差最多为一个常数因子。在本文中，我们通过证明所提出的方案和估计器在 $\ell_2^2$（均方）损失下具有渐近最优性来消除这一差距。更准确地说，我们证明对于任意 $k$ 和 $\epsilon$，当样本数趋于无穷大时，我们方案的最坏情况估计损失与最优值之比趋近于 $1$。