局部差分隐私下离散分布的鲁棒估计

尽管鲁棒学习和局部差分隐私都是被广泛研究的领域，但将两者结合才刚刚开始被探索。我们考虑在局部差分隐私约束下，从$n$个受污染的批次数据中以全变差距离估计离散分布的问题。其中比例为$1-\epsilon$的批次包含从$d$个元素上的离散分布$p$抽取的$k$个i.i.d.样本。为保护用户隐私，每个样本都使用$\alpha$-局部差分隐私机制进行私有化。剩余的$\epsilon n$个批次为对抗性污染。已知在仅有污染而无隐私约束下，估计的极小极大速率为$\epsilon/\sqrt{k}+\sqrt{d/kn}$，相差一个$\sqrt{\log(1/\epsilon)}$因子。在仅有隐私约束下，估计的极小极大速率为$\sqrt{d^2/\alpha^2 kn}$。我们证明，结合两种约束导致极小极大估计速率为$\epsilon\sqrt{d/\alpha^2 k}+\sqrt{d^2/\alpha^2 kn}$（相差一个$\sqrt{\log(1/\epsilon)}$因子），大于两个单独速率之和。我们给出了达到该界的多项式时间算法，以及匹配的信息论下界。