高维精确支撑恢复的基本极限

我们研究在加性噪声观测下的高维信号的支撑恢复问题。通过对信号稀疏度及其非零分量大小进行适当参数化，我们刻画了一种类似于 Ingster 于 1998 年所研究的信号检测问题的相变现象。具体而言，若信号幅度高于所谓的强分类边界，我们证明当维度趋于无穷时，几类熟知的方法渐近地实现完美的支撑恢复。对于具有轻的、快速变化尾部的非常广泛的误差分布类（其可具有任意依赖性），上述结论均成立。反之，若信号低于该边界，则对于非常广泛的误差依赖结构类，任何阈值估计量（包括具有数据依赖阈值的估计量）均无法实现完美的支撑恢复。这些结果的证明利用了称为相对稳定性的某种极大值集中现象。我们针对高斯三角阵列，依据其相关结构给出了相对稳定性现象的完整刻画。证明使用了经典的 Sudakov-Fernique 与 Slepian 引理论证，以及 Ramsey 着色定理的一个有趣应用。我们注意到，我们对强分类边界的研究是在更精细的点态意义下，而非极小极大意义下进行的。我们还确立了阈值程序的贝叶斯最优性与次优性。由此，我们获得了具有对数凹密度的误差的强分类边界的一种极小极大型刻画。