多维计算分辨率极限的数学理论

从带限傅里叶数据中分辨点源的线性组合是成像与信号处理中的基本问题。由于傅里叶数据不完整且测量中存在不可避免噪声，可分辨点源间分离距离存在基本极限。此即所谓的分辨率极限问题。尽管经典瑞利极限被广泛使用，该分辨率极限的刻画仍是一个长期未解之谜。众所周知，瑞利极限是启发式的，其在处理经受精细处理的数据时缺陷显著，而现代计算成像方法正是如此。因此，随着数据处理方法的发展，对分辨率极限更精确的刻画变得愈发必要。为此，我们在 [arXiv:2003.02917[cs.IT], arXiv:1912.05430[eess.IV]] 中针对一维情形下的数目检测与支持恢复发展了“计算分辨率极限”理论。本文将该一维理论推广至多维。更确切地说，我们在一般 k 维空间中定义并定量刻画了数目检测与支持恢复问题的“计算分辨率极限”。我们的结果表明，在这两个恢复问题中，关于超分辨因子与信噪比均存在相变现象。我们的主要结果利用子空间投影策略导出。最后，为验证理论，我们提出了基于确定性子空间投影的二维与三维数目检测及支持恢复算法。数值结果证实了理论所预测的相变现象。