超分辨与两点分辨的数学理论

本文聚焦于超分辨的基本方面，特别讨论了超分辨的稳定性以及两点分辨率的估计。我们的第一个主要贡献是引入了两个位置-幅度恒等式，它们刻画了一维超分辨问题中真实源与恢复源的位置和幅度之间的关系。这些恒等式有助于直接推导出恢复源的数量、位置和幅度的超分辨能力，从而显著地将现有估计提升到具有实际意义的水平。作为一个自然延伸，我们建立了超分辨问题中特定 $l_0$ 最小化算法的稳定性。本文的第二个关键贡献是对多维空间中两点分辨率极限的理论证明。该分辨率极限表示为：当 $\frac{\sigma}{m_{\min}}\leq\frac{1}{2}$ 时，$$R = \frac{4\arcsin \left(\left(\frac{\sigma}{m_{\min}}\right)^{\frac{1}{2}} \right)}{\Omega}$$ 其中 $\frac{\sigma}{m_{\min}}$ 代表信噪比（$\mathrm{SNR}$）的倒数，$\Omega$ 是截止频率。这也表明，当信噪比（SNR）超过 $2$ 时，分辨两个点源的分辨率可以超过瑞利极限 $\frac{\pi}{\Omega}$。此外，我们找到了一个在区分两个源时可达到分辨率 $R$ 的易处理算法。