稳定超分辨极限与受限 Fourier 矩阵的最小奇异值

我们考虑一个逆问题：给定离散测度表示的点源集合的 $M+1$ 个含噪低频 Fourier 系数，恢复这些点源的位置和振幅。超分辨指的是当两个最近点源之间的距离 $\Delta$ 小于 $1/M$ 时的稳定恢复。我们引入了一种团簇模型，其中点源在几个团簇内紧密排列。在此假设下，我们推导了节点由点源确定的 Vandermonde 矩阵最小奇异值的非渐近下界。我们的估计以加权 $\ell^2$ 和的形式给出，其中每一项仅取决于各个团簇的构型。主要新颖之处在于，我们的下界获得了与 {\it 超分辨因子} $SRF=(M\Delta)^{-1}$ 的精确依赖关系。随着噪声水平增加，MUSIC 算法中 {\it 噪声空间相关函数的灵敏度} 按照 $SRF$ 的幂律退化，其指数取决于最大团簇的基数。数值实验验证了我们对最小奇异值和 MUSIC 灵敏度的理论界限。我们还提供了网格模型超分辨的极小极大误差的下界和上界，这与 Vandermonde 矩阵的最小奇异值密切相关。