迈向超分辨率的数学理论

本文发展了超分辨率的数学理论。广义而言，超分辨率是指仅从粗尺度信息（即频谱低端的采样）中恢复物体精细细节（即频谱高端）的问题。假设我们在 $[0,1]$ 区间内有许多位置未知且具有未知复值振幅的点源。我们仅观测到该物体直至频率截止点 $f_c$ 的傅里叶采样。我们表明，通过求解一个简单的凸优化问题（该问题本质上可重构为半定规划），可以无限精度地超分辨率这些点源，即恢复其精确位置和振幅。前提是源之间的距离至少为 $2/f_c$。该结果可推广至高维及其他模型。例如，在一维情况下，通过无限精度地解析间断点，可以恢复分段光滑函数。我们还表明，该理论和方法对噪声具有鲁棒性。特别是在离散设置中，我们提出了一些理论结果，解释了当噪声水平和{\em 超分辨率因子}变化时，超分辨率信号的预期精度如何下降。