超分辨率、极值函数与范德蒙德矩阵的条件数

超分辨率是成像中的一项基本任务，旨在从粗粒度测量中提取细粒度结构。此处我们关注该问题的一种流行数学抽象，它已在统计学、信号处理和机器学习社区中得到广泛研究。我们精确解决了噪声超分辨率可行的阈值。具体而言，我们建立了截止频率 ($m$) 与分离度 ($\Delta$) 之间关系的尖锐相变。若 $m > 1/\Delta + 1$，我们的估计器将以噪声幅度的逆多项式速率收敛到真实值。而当 $m < (1-\epsilon) /\Delta$ 时，即使噪声幅度呈指数级小，也没有估计器能够区分特定的一对 $\Delta$ 分离信号。我们的结果在{\em 极值函数}与范德蒙德矩阵的谱性质之间建立了新颖联系。我们确立了其条件数的尖锐相变，进而使我们能够为矩阵束方法给出首个噪声容限界。此外，我们表明我们的方法可被解释为为范德蒙德矩阵提供预条件子，并利用这一观察设计了更快的超分辨率算法。我们相信这些思想可能在设计用于其他信号处理基本任务的更快算法方面具有其他应用。