正近碰撞点源的超分辨

本文中，我们分析了二维正源的超分辨能力。特别地，我们考虑与[arXiv:1904.09186v2 [math.NA]]相同的设置，并将其结果推广到超分辨正源的情形。更具体地，我们考虑分辨$d$个正点源，其中$p \leqslant d$个节点紧密相邻形成簇，而其余节点间隔良好。类似于[arXiv:1904.09186v2 [math.NA]]，我们的结果表明，当噪声水平$\epsilon \lesssim \mathrm{SRF}^{-2 p+1}$（其中$\mathrm{SRF}=(\Omega \Delta)^{-1}$，$\Omega$为截止频率，$\Delta$为节点间最小间隔）时，重构簇节点的极小极大误差率为$\frac{1}{\Omega} \mathrm{SRF}^{2 p-2} \epsilon$量级，而恢复相应振幅$\left\{a_j\right\}$的误差率为$\mathrm{SRF}^{2 p-1} \epsilon$量级。对于非簇节点，恢复节点与振幅的相应极小极大率分别为$\frac{\epsilon}{\Omega}$与$\epsilon$量级。我们的数值实验表明，矩阵束（Matrix Pencil）方法在分辨正源时达到了上述最优界。