基于稀疏性的超分辨率可恢复极限

我们考虑从由其生成的、限制在区间 $[- \Omega, \Omega]$ 上的傅里叶级数鲁棒地恢复 $k$-稀疏系数向量的问题。该问题的难度与超分辨率因子 SRF 相关，SRF 等于瑞利长度（$\Omega$ 的倒数）除以支撑稀疏向量的网格间距。在范数为 $\sigma$ 的加性确定性噪声存在下，我们给出了极小极大错误率的上界和下界，二者均随 $(SRF)^{2k-1} \sigma$ 缩放，从而部分回答了 Donoho 在 1992 年提出的一个问题。该缩放源于将噪声水平与稀疏度 $2k$ 下的受限等距常数进行比较，或者等价地将 $2k$ 与所谓的傅里叶系统的 $\sigma$-spark 进行比较。证明涉及受限傅里叶矩阵奇异值的新界，部分由复分析中的旧技术得到。