近碰撞点源的超分辨

我们考虑从谱测量中稳定恢复形如 $$F(x)=\sum_{j=1}^d a_j\delta(x-x_j),\quad x_j\in\mathbb{R},\;a_j\in\mathbb{C},$$ 的稀疏信号的问题，谱测量在带宽 $\Omega$ 内已知且绝对误差不超过 $\epsilon>0$。我们考虑这样一种情形：至多 $p\le d$ 个 $F$ 的节点 $\{x_j\}$ 构成一个簇，其尺度小于瑞利极限 ${1\over\Omega}$，而其余节点分离良好。在 $\epsilon \lessapprox SRF^{-2p+1}$ 的条件下（其中 $SRF=(\Omega\Delta)^{-1}$，$\Delta$ 为节点间最小间距），我们证明簇节点重构的极小极大误差率为 ${1\over\Omega}SRF^{2p-1}\epsilon$ 量级，而对应振幅 $\{a_j\}$ 恢复的误差率为 $SRF^{2p-1}\epsilon$ 量级。此外，非簇节点及其振幅恢复的相应极小极大误差率分别为 ${\epsilon\over\Omega}$ 与 $\epsilon$。这些结果表明，稳定超分辨在比先前所认为的更为一般的情况下是可能的。我们的数值实验表明，著名的矩阵 pencil 方法达到了上述精度界。