从不完整与不精确测量中稳定恢复信号

设我们希望从不完整且受污染的观测 y = A x_0 + e 中恢复 n 维实值向量 x_0（如数字信号或图像）；A 为 n×m 矩阵，其行数远小于列数（n << m），e 为误差项。是否可能基于数据 y 准确恢复 x_0？为恢复 x_0，我们考虑 l1 正则化问题 min \|x\|_1 满足 \|Ax-y\|_2 <= epsilon 的解 x*，其中 epsilon 为误差项 e 的尺度。我们证明若 A 服从一致不确定性原理（列为单位范数）且向量 x_0 充分稀疏，则该解在噪声水平内：\|x* - x_0\|_2 \le C epsilon。作为首个例子，设 A 为高斯随机矩阵，则只要 x_0 的非零元个数与观测数同阶，几乎所有此类 A 均可稳定恢复。第二，设观测到 x_0 的少量 Fourier 样本，则只要非零元个数为 n/[\log m]^6 阶，对几乎任意 p 个系数集均可稳定恢复。在误差项消失的情形，恢复当然精确，且本工作实际上对早前论文讨论的精确恢复现象提供了新见解。该方法论也解释了为何也能非常近似地恢复近似稀疏信号。