$\mathbf{Z}_2$ 同步与图聚类在精确恢复阈值附近的非凸景观是良性的

我们研究了源自$\mathbf{Z}_2$上的同步的光滑非凸问题的优化景观，即从（带噪声的）相对测量 $R_{ij} \approx z_i z_j$恢复 $z_1, \dots, z_n \in \{\pm 1\}$。从一个类似max-cut的组合问题出发，对于整数参数 $r \geq 2$，我们研究的非凸问题可视为标准max-cut半正定松弛的秩-$r$ Burer--Monteiro分解，也可视为将 $\{\pm 1\}$ relax到 $\mathbf{R}^r$ 中的单位球。首先，我们给出测量图和噪声下每个二阶临界点的确定性、非渐近条件，确保该非凸问题的每个二阶临界点都产生ground truth的精确恢复。然后，通过概率分析，我们获得了三个基准问题的渐近保证：（1）具有完整图和高斯噪声的同步，（2）具有Erd\H{o}s--R\'enyi随机图和伯努利噪声的同步，（3）在二进制对称随机块模型下进行的图聚类。在每种情况下，我们在问题规模趋于无穷大时，都有一个良性的非凸景观接近先前确定的精确恢复阈值；我们可以用足够大的（但有限的）秩参数 $r$ 以任意精度接近该阈值。此外，我们的结果对单调对手也具有鲁棒性。