放宽条件，无需取整：聚类公式的整数性

我们研究点云聚类问题凸松弛的精确恢复条件，重点关注无监督聚类中最常见的两个优化问题：$k$-means 和 $k$-median 聚类。聚焦于凸松弛的动机在于：(a) 它们带有最优性证明，(b) 它们是通用工具，相对无需参数调整，不针对输入的特定假设。更具体地说，我们考虑分布设定，其中 $\mathbb{R}^m$ 中存在 $k$ 个簇，每个簇的数据由从单位半径球内的对称分布中采样的 $n$ 个点组成。我们提出这样的问题：为了使凸松弛将这些 $k$ 个簇精确恢复为最优整数解，簇中心之间所需的最小分离距离是多少？对于 $k$-median 线性规划松弛，我们展示了一个紧界：只要球体之间的任意小成对分离距离 $\epsilon > 0$，即可获得精确恢复。换言之，成对中心分离度为 $\Delta > 2+\epsilon$。在相同的分布模型下，$k$-means 线性规划松弛在分离度高达 $\Delta = 4$ 时仍无法恢复此类簇。然而，如果我们在 $k$-means 线性规划中强制施加 PSD 约束，则可在中心分离度 $\Delta > 2\sqrt2(1+\sqrt{1/m})$ 时实现精确簇恢复。相比之下，常见的启发式算法如 Lloyd 算法（即 $k$-means 算法）在此设定下可能无法恢复簇；即使簇分离度任意大，以任何常数因子过种子化的 k-means++ 也以高概率无法精确恢复簇。为了补充理论分析，我们提供了对这些各种方法恢复保证的实验研究，并讨论了这些实验所揭示的几个开放问题。