基于LP松弛的$k$-中心及相关问题的扰动弹性聚类

我们考虑自Bilu和Linial [ICS, 2010]以及Awasthi、Blum和Sheffet [Inf. Proc. Lett., 2012]的工作以来被研究的扰动弹性模型中的聚类。若当成对距离被因子$\alpha$修改且扰动后的距离满足度量性质时最优解不改变，则称聚类实例$I$是$\alpha$-扰动弹性的——这是由Angelidakis等人 [STOC, 2010]引入的度量扰动弹性性质，且比先前的模型要求更弱。我们做出两项高层贡献。1）我们证明$k$-中心和异步$k$-中心的自然LP松弛对于$2$-扰动弹性实例是整数的。我们相信展示标准LP松弛的优良性质补充了现有基于为扰动模型设计的组合算法的结果。2）我们为带离群点的聚类定义了一种简单的新的扰动弹性模型。利用该模型，我们证明Angelidakis等人 [STOC, 2010]提出的统一MST和基于动态规划的算法在实例为$2$-扰动弹性时精确求解了带离群点的聚类问题，适用于若干常见的基于中心的目标（如$k$-中心、$k$-均值、$k$-中位数）。我们进一步证明一个自然的LP松弛对于带离群点的\kcenter的$2$-扰动弹性实例是整数的。