度量扰动弹性

我们研究了由 Bilu 和 Linial (2010) 以及 Awasthi, Blum 和 Sheffet (2012) 引入的扰动弹性概念。若将所有距离扰动至多 $\alpha$ 倍后最优聚类保持不变，则称该聚类问题具有 $\alpha$-扰动弹性。我们考虑了一类具有基于中心目标的聚类问题，包括 k-means、k-median 和 k-center 等问题，并给出了针对 2-扰动弹性实例的精确算法。我们的结果改进了 Balcan 和 Liang (2016) 的结果，后者给出了针对 $1+\sqrt{2}\approx 2.41$ 扰动弹性实例的算法。我们的结果是紧的，因为正如 Balcan, Haghtalab 和 White (2016) 所示，除非 NP = RP，否则不存在多项式时间算法能解决 $(2-\varepsilon)$-扰动弹性实例。我们证明了该算法适用于满足比扰动弹性稍弱且更自然的条件的实例，我们将此条件称为度量扰动弹性。