欧氏 k-Means 稳定实例的精确算法与下界

我们研究了在固定维欧氏度量（更一般地，倍增度量）下求解 $k$-Means 与 $k$-Median 聚类的稳定或扰动弹性实例的复杂性。稳定（扰动弹性）实例的概念由 Bilu 与 Linial [2010] 以及 Awasthi 等人 [2012] 提出。在我们的语境中，称一个 $k$-Means 实例为 $\alpha$-稳定的，是指存在唯一的 OPT，且当距离被（非一致地）拉伸不超过 $\alpha$ 倍时它仍是最优的。稳定聚类实例被用来解释为何诸如 Lloyd 算法之类的启发式方法在实践中表现良好。本工作中我们证明，对任意固定的 $\epsilon>0$，倍增度量中的 $(1+\epsilon)$-稳定 $k$-Means 实例可在多项式时间内求解。更确切地说，我们证明一种自然的多交换局部搜索算法能在多项式次迭代内为 $(1+\epsilon)$-稳定的 $k$-Means 与 $k$-Median 实例找到 OPT。我们以一个新 PCP 定理补充该结果，表明这本质上是最优的：当维数 d 作为输入一部分时，存在固定 $\epsilon_0>0$，使得在 NP=RP 不成立时对 $R^d$ 中 $(1+\epsilon_0)$-稳定 $k$-Means 甚至不存在 PTAS。为此，我们考虑 CSP 的一种鲁棒性质；称一个实例是稳定的，是指存在唯一最优解 $x^*$ 且对任意其他解 $x'$，未满足子句的数量与 $x^*$ 和 $x'$ 间的汉明距离成比例。Dinur 等人已证明稳定 QSAT 对某些常数 Q 难以近似，我们的假设仅是带界变量出现次数的稳定 QSAT 同样困难。在此假设下，我们考虑“保持稳定性”的归约来证明稳定 k-Means 的困难性。此类归约似乎比标准 L-归约更脆弱，并可能进一步用于证明其他稳定优化问题的困难性。