基于中心的聚类在扰动稳定性下的研究

在大多数流行的目标函数下，聚类问题是NP难的，甚至难以很好地近似，因此在最坏情况下不太可能被高效求解。最近，Bilu和Linial提出了一种方法，旨在通过利用实例在实践中所期望具有的性质来绕过这一计算障碍。具体而言，他们认为实践中的实例应对度量空间中的小扰动保持稳定，并给出了一种针对Max-Cut问题实例的高效聚类算法，这些实例对大小为$O(n^{1/2})$的扰动保持稳定。此外，他们推测，对低至O(1)的扰动保持稳定的实例应在多项式时间内可解。在本文中，我们证明这一推测对于任何基于中心的聚类目标（如$k$-中位数、$k$-均值和$k$-中心）成立。具体来说，我们表明，在无Steiner点的空间中，仅需假设对底层度量进行因子为3的扰动保持稳定性，即可高效找到最优聚类；对于一般度量，则需假设对因子为$2+\sqrt{3}$的扰动保持稳定性。特别地，我们证明对于此类实例，流行的单链接算法结合动态规划可以找到最优聚类。我们还提出了在较弱但相关条件下的NP难度结果。