关于非均匀 $k$-中心问题的扰动弹性

非均匀 $k$-中心（NUkC）问题由 Chakrabarty、Goyal 与 Krishnaswamy [ICALP, 2016] 作为经典 $k$-中心聚类问题的推广而近期提出。在 NUkC 中，给定度量空间中 $n$ 个点 $P$ 与非负数 $r_1, r_2, \ldots , r_k$，目标是找到最小膨胀因子 $\alpha$，并选取以 $P$ 中点为圆心、半径为 $\alpha\cdot r_i$（$1\le i\le k$）的 $k$ 个球，使得 $P$ 中所有点都包含于所选球的并集中。他们证明了即使在树度量下，该问题在任何因子内近似都是 NP-难的。另一方面，他们设计了一个使用常数倍 $k$ 个球的“双准则”常数近似算法。令人惊讶的是，即使在 $r_i$ 属于大小为 3 的固定集合这一特殊情形下，也没有已知的真近似算法。本文中，我们在由 Bilu 与 Linial [Combinatorics, Probability and Computing, 2012] 引入的扰动弹性下研究 NUkC 问题。我们证明当 $r_i$ 属于常数大小集合时，2-扰动弹性下的问题是多项式时间可解的。然而，我们表明扰动弹性在一般情形下并无帮助。具体而言，我们的发现意味着即便有扰动弹性，也无法期望为该问题找到任何“好的”近似。