非均匀k中心问题

在本文中，我们引入并研究了非均匀k中心问题（NUkC）。给定一个有限度量空间$(X,d)$和一组半径为$\{r_1\geq \cdots \ge r_k\}$的球，NUkC问题是要在度量空间上找到它们中心的位置，并找到最小扩张因子$\alpha$，使得以第$i$个中心为圆心、半径为$\alpha\cdot r_i$的球的并集覆盖$X$中的所有点。该问题自然地作为具有不同速度车队的极小极大车辆路径问题而出现。NUkC问题推广了经典的$k$中心问题（当所有$k$个半径都相同时，缩放后可假定为$1$）。它也推广了带离群点的$k$中心问题（kCwO）（当有$k$个半径为$1$的球和$\ell$个半径为$0$的球时）。对于这些问题，已知分别有$2$近似和$3$近似算法；前者除非P=NP否则是最优的，而后者在15年内仍未得到改进。我们首先观察到，除非P=NP，否则不可能对最优扩张因子有$O(1)$近似，这意味着NUkC问题比上述两个问题更不平凡。我们的主要算法结果是一个$(O(1),O(1))$双标准近似结果：我们给出了对最优扩张因子的$O(1)$近似，然而，我们可能会为每种半径开放$\Theta(1)$个中心。我们的技术还使我们能够证明对kCwO问题的一个简单的（单标准）、最优的$2$近似，改进了长期存在的$3$因子。我们的主要技术贡献是建立了NUkC问题与最近在理论计算机科学界得到研究的所谓树上消防员问题之间的联系。