面向具有常数种半径的非均匀 k-中心问题

在非均匀 k-中心（Non-Uniform k-Center）问题中，我们需要使用可统一缩放的、具有不同半径的 k 个球来覆盖一个有限度量空间。目标是最小化缩放因子。若不同半径的数量无界，该问题不存在常数因子近似算法，但已有猜想称若半径数量为常数则存在此类算法。然而，目前仅对两种半径的情况已知。我们的第一个贡献是一个简单的黑盒归约，表明若能处理带离群点的 t-1 种半径的变体，则也能处理 t 种半径。结合 Chakrabarty 和 Negahbani 针对带离群点的两种半径的算法，这立即给出了三种半径的常数因子近似算法，从而在该猜想上取得了进一步进展。此外，利用带离群点的 k-中心问题（即一种半径带离群点的情况）的算法，我们也得到了一个针对两种半径的简单算法。Chakrabarty 和 Negahbani 的算法采用自顶向下的方法，从较大半径开始再处理较小半径。另一方面，我们的归约仅考察最小半径并将其消除，这表明自底向上的方法是可行的。本着这一精神，我们设计了对 Chakrabarty 和 Negahbani 算法的修改，使其以自底向上的方式运行，并以此方式重新得到了他们的结果，且分析更为简单。