利用同簇查询精确恢复受损聚类

我们在半监督主动聚类框架下研究聚类恢复问题。给定有限输入点集，以及一个揭示任意两点是否位于同一簇的预言机（oracle），我们的目标是以尽可能少的查询精确恢复所有簇。为此，我们将 Ashtiani 等人的球面 $k$-means 聚类假设放宽，以允许具有间隔的任意椭球簇。这去除了聚类基于中心（即通过优化问题定义）的假设，并包含了球面簇经任意旋转、轴缩放与点删除组合单独变换的所有情形。我们证明，即便在此远更一般的设定下，仍可能仅以随输入点数对数增长的查询次数精确恢复潜在聚类。更确切地说，我们设计了一种算法，给定需划分为 $k$ 个簇的 $n$ 个点，使用 $O(k^3 \ln k \ln n)$ 次预言机查询与 $\tilde{O}(kn + k^3)$ 时间以零误分类误差恢复聚类。$O(\cdot)$ 记号隐藏了关于簇维度的指数依赖，我们证明该依赖是必要的，从而刻画了问题的查询复杂度。我们的算法简单、易于实现，且亦可使用低拉伸分隔器（low-stretch separators）——一类具有额外理论保证的椭球——来学习簇。在大型合成数据集上的实验证实我们可以精确且高效地重建聚类。