基于间隔的带预言机查询簇恢复研究

我们研究一个主动簇恢复问题：给定 $n$ 个点集合以及一个回答诸如“这两个点是否在同一个簇中？”之类查询的预言机，任务是以尽可能少的查询精确恢复所有簇。我们首先引入一个简单但通用的簇间间隔概念，它作为特例涵盖了先前工作所用的间隔、经典 SVM 间隔，以及基于中心的聚类中标准的稳定性概念。随后，在我们的间隔假设下，我们设计了在多种设置中仅使用 $O(\log n)$ 次查询即可精确恢复所有簇的算法。对于欧几里得情形 $\mathbb{R}^m$，我们给出一种在多项式时间内恢复任意凸簇的算法，其查询数量比现有最优算法低 $\Theta(m^m)$ 倍。对于一般的伪度量空间（其中簇可能非凸或没有任何形状概念），我们给出一种达到 $O(\log n)$ 查询界的算法，并且作为空间填充数的函数被证明近乎最优。最后，对于由二元概念类实现的聚类，我们给出了可用 $O(\log n)$ 次查询恢复的 combinatorial 表征，并表明对于欧几里得空间中的许多概念类，该表征等价于我们的间隔条件。我们的结果揭示了簇间隔与主动簇可恢复性之间的深刻联系。