近似最优与准确聚类的半监督算法

我们研究半监督设定下的 $k$-means 聚类。给定一个预言机，可返回两个给定点是否属于某个固定最优聚类中的同一簇，我们探究如下问题：需要多少次预言机查询，才能高效恢复一个以至少 $(1 - \delta)$ 的概率同时具有不超过 $(1 + \epsilon)$ 倍最优代价且准确率至少 $(1 - \epsilon)$ 的聚类？我们展示了如何在 $n$ 个点上以 $O{((k^2 \log n) \cdot m{(Q, \epsilon^4, \delta / (k\log n))})}$ 次预言机查询实现这样的聚类，其中在监督设定下用 $m(Q, \epsilon',\delta')$ 个标注样本可以 $\epsilon'$ 误差和失败概率 $\delta'$ 学习出 $k$ 个簇，且 $Q$ 为候选簇中心集合。我们表明 $m(Q, \epsilon', \delta')$ 在欧几里得空间与有限度量空间中的 $k$-means 实例上均较小。我们进一步表明，对于欧几里得 $k$-means 实例，我们可以避免查询复杂度对 $n$ 的依赖，代价是增加对 $k$ 的依赖：具体而言，我们给出一个稍复杂的算法，使用 $O(k^4/(\epsilon^2 \delta) + (k^{9}/\epsilon^4) \log(1/\delta) + k \cdot m(\mathbb{R}^r, \epsilon^4/k, \delta))$ 次预言机查询。我们还表明，欧几里得 $k$-means 中达到 $(1 - \epsilon)$-准确率所需的查询数必须线性依赖于底层欧几里得空间的维数，而对于有限度量空间 $k$-means，我们表明其至少须对数依赖于候选中心数。这表明我们的查询复杂度抓住了各参数间的正确依赖关系。