使用 o(log n) 空间的流式欧几里得 k-中位数与 k-均值

我们考虑数据流上的经典欧几里得 k-中位数和 k-均值目标，其目标是提供对最优 k-中位数或 k-均值解的 (1+ε)-近似，同时尽可能少地使用内存。过去 20 年中，数据流聚类受到极大关注，并成为包括核心集、合并与归约框架、双准则近似、敏感度采样等大量新技术的试验台。尽管为这些问题获得更小草图付出了巨大努力，所有已知技术仍需存储至少 Ω(log(nΔ)) 个字的内存，其中 n 为输入规模，Δ 为纵横比。一个自然的问题是能否打破这种对 n 和 Δ 的对数依赖。在本文中，我们通过首先给出一个仅插入的流式算法打破该壁垒，该算法对更一般的 (k,z)-聚类问题实现 (1+ε)-近似，使用 \tilde{\mathcal{O}}\left(\frac{dk}{\varepsilon^2}\right)\cdot(2^{z\log z})\cdot\min\left(\frac{1}{\varepsilon^z},k\right)\cdot\text{poly}(\log\log(n\Delta)) 个字的内存。我们的技术也可用于在动态流上以两遍算法实现 k-中位数和 k-均值聚类，使用 \tilde{\mathcal{O}}\left(\frac{1}{\varepsilon^2}\right)\cdot\text{poly}(d,k,\log\log(n\Delta)) 个字的内存。