任意数据流上的在线 $k$-means 聚类

我们考虑在线 $k$-means 聚类：每个新点被分配给最近的聚类中心，之后算法可更新其中心。产生的损失为新点到其被分配聚类中心的平方距离之和。在数据流 $X$ 上的目标是使损失达到 $L(X, OPT_k)$（即事后使用 $k$ 个固定点所能获得的最佳损失）的常数倍。我们提出一个数据参数 $\Lambda(X)$，使得对于任何在时刻 $n$ 维护 $O(k\text{poly}(\log n))$ 个中心的算法，都存在一个数据流 $X$ 使其不可避免地承受 $\Omega(\Lambda(X))$ 的损失。随后我们给出一种随机化算法，其聚类损失为 $O(\Lambda(X) + L(X, OPT_k))$。我们的算法使用 $O(k\text{poly}(\log n))$ 内存并维护 $O(k\text{poly}(\log n))$ 个聚类中心。该算法运行时间为 $O(k\text{poly}(\log n))$，是此设定下首个达到多项式空间与时间复杂度的算法，也是首个在不对输入数据做任何假设下具有可证明保证的算法。