最优全动态 $k$-中心聚类

我们提出了首个用于任意度量空间中全动态 $k$-中心聚类的算法,该算法在 $O(k \cdot \operatorname{polylog}(n,\Delta))$ 的摊还更新时间内维持最优的 $2+\epsilon$ 近似。此处,$n$ 为任意时刻活跃点数量的上界,$\Delta$ 为数据的纵横比。此前已知的最佳摊还更新时间为 $O(k^2\cdot \operatorname{polylog}(n,\Delta))$,由 Chan、Gourqin 和 Sozio 给出。我们证明,即便对于仅插入流,我们算法的运行时间在 $\operatorname{polylog}(n,\Delta)$ 因子范围内是最优的,从而封闭了全动态 $k$-中心聚类的复杂度。特别地,我们证明任意度量空间中(包括 $k$-means、$k$-medians 和 $k$-centers 在内的)$k$-聚类任务算法,为获得任意非平凡近似因子,必须至少进行 $\Omega(n k)$ 次距离查询。尽管存在针对任意度量空间的下界,我们证明对于容许局部敏感哈希函数(LSH)的度量空间,亚线性于 $k$ 的更新时间是可能的。即,我们展示了一种黑盒变换,它接收度量空间的局部敏感哈希族并生成该空间上更快的全动态 $k$-中心算法。特别地,对于包括欧氏空间、$\ell_p$ 空间、汉明度量和 Jaccard 度量在内的一大类度量,对任意 $c > 1$,我们的结果在所有 $k \geq 1$ 下以 $O(n^{1/c} \cdot \operatorname{polylog}(n,\Delta))$ 摊还更新时间给出 $c(4+\epsilon)$ 近似的 $k$-中心解。此前唯一已知的类似结果是 Schmidt 和 Sohler 针对欧氏空间的 $O(c \log n)$ 近似,运行于相同的摊还更新时间。