具有近似最优更新时间与代价的完全动态 $k$-中值问题

在度量 $k$-聚类中，给定输入为一般度量空间中的 $n$ 个点，需要选择 $k$ 个中心并将输入点围绕这些选定中心进行聚类，以最小化适当的目标函数。近年来，大量研究致力于度量 $k$-聚类问题在动态设置下的研究，其中输入通过更新（点的插入/删除）不断变化，我们需要在整个更新过程中维持良好的聚类。此类动态算法的性能通过三个参数来衡量：(i) 近似比，表示所维持解的质量；(ii) 代价，表示所维持解的稳定性；(iii) 更新时间，表示算法的效率。我们考虑度量 $k$-中值问题，其目标为点到最近中心距离之和。我们设计了该问题的首个动态算法，在所有三个性能指标上均具有近似最优的保证（近似比差一个常数因子，代价和更新时间差多对数因子）。具体而言，我们获得了动态度量 $k$-中值问题的 $O(1)$-近似算法，具有 $\tilde{O}(1)$ 代价和 $\tilde{O}(k)$ 更新时间。在我们之前，此领域的最新结果是 [Bhattacharya et al., FOCS'24] 获得的 $O(\epsilon^{-1})$-近似比、$\tilde{O}(k^{\epsilon})$ 代价和 $\tilde{O}(k^{1+\epsilon})$ 更新时间。我们通过精心综合 [Fichtenberger et al., SODA'21] 中引入的鲁棒中心概念与 [Bhattacharya et al., FOCS'24] 中的随机局部搜索子程序，并结合我们自己的若干关键技术洞见来实现我们的结果。