针对自适应与不知情对手的最优全动态$k$-中心聚类

在全动态聚类问题中，给定度量空间中数据集的聚类必须在通过点插入和删除进行修改时持续维护。本文中，我们解决了针对自适应与不知情对手的全动态$k$-中心聚类的复杂度问题。针对不知情对手，我们提出了首个在任意度量空间中维护最优$(2+\epsilon)$-近似、且摊还更新时间为$O(k \cdot \mathrm{polylog}(n,\Delta))$的全动态$k$-中心算法。此处，$n$为任意时刻活跃点数的上界，$\Delta$为度量空间的纵横比。此前已知最佳摊还更新时间为$O(k^2\cdot \mathrm{polylog}(n,\Delta))$，由Chan、Gourqin和Sozio（2018）给出。此外，我们证明除$\mathrm{polylog}(n,\Delta)$因子外我们的运行时间是最优的。事实上，我们证明即便在任意度量空间中对$k$-聚类任务（包括$k$-中位数、$k$-均值和$k$-中心）的离线算法，为获得任何非平凡近似因子也至少需进行$\Omega(n k)$次距离查询。这意味着即便在仅插入设定下也存在$\Omega(k)$下界。我们还给出了针对自适应对手的确定性下界与上界，证明在承认局部敏感哈希（LSH）的度量空间中针对不知情对手可实现关于$k$亚线性的更新时间，并给出了针对密切相关$k$-半径之和与$k$-直径之和问题的首批全动态$O(1)$-近似算法。