针对自适应对手具有近最优代价的简单动态 spanner

设计针对自适应对手、性能可与假设遗忘对手时匹敌的动态算法，是动态图算法领域的一项重大研究计划。完全动态 spanner 问题是遗忘对手与自适应对手差距仍最大地悬而未决的突出例子之一；已有假设遗忘对手的算法，具有近最优的尺寸-伸展权衡且仅用 $\operatorname{polylog}(n)$ 更新时间 [Baswana, Khurana, and Sarkar TALG'12; Forster and Goranci STOC'19; Bernstein, Forster, and Henzinger SODA'20]，而针对自适应对手，即使允许无限时间且仅计算代价（即维护的 spanner 中每次更新的边改变数），所有先前伸展不超过 $\log^{5}(n)$ 的算法都需要至少 $\Omega(n)$ 摊还代价 [Ausiello, Franciosa, and Italiano ESA'05]。本文就代价而言完全弥合此差距，给出针对自适应对手、具有近最优尺寸-伸展权衡与代价的算法。更确切地，对任意 $k\ge1$，我们的算法维护尺寸为 $O(n^{1+1/k}\log n)$ 的 $(2k-1)$-spanner，具有 $O(\log n)$ 摊还代价，这在所有参数上直至 $O(\log n)$ 因子均为最优。作为迈向具有小更新时间（不仅是代价）算法的一步，我们展示另一算法维护尺寸为 $\tilde O(n^{1.5})$ 的 $3$-spanner，具有 $\operatorname{polylog}(n)$ 摊还代价且同时 $\tilde O(\sqrt{n})$ 最坏情况更新时间。