基于近似最远邻的低维完全动态 $k$-中心算法

设 $P$ 为某度量空间中的点集。近似最远邻问题是指，给定第二点集 $C$，找出 $P$ 中距 $C$ 为 $(1+\epsilon)$ 近似最远邻的点 $p$。其动态版本是在点插入与删除过程中维护 $P$，使得能对当前 $P$ 高效求解近似最远邻问题。我们给出了在具有有限翻倍维度的度量空间中求解该问题的首个算法。该算法构建于导航网（navigating net）数据结构之上。一个直接应用是针对动态 $k$-中心问题的两种新算法。第一种在一般具有有界翻倍维度的度量空间中动态维护 $(2+\epsilon)$ 近似 $k$-中心，第二种维护 $(1+\epsilon)$ 近似欧几里得 $k$-中心。这两种动态算法均始于已知的对应近似 $k$-中心静态算法，并将该算法所用的静态精确最远邻子程序替换为我们的新动态近似最远邻子程序。与先前具有相同近似比的动力学 $k$-中心算法不同，我们的新算法无需预先知道 $k$ 或 $\epsilon$。在欧几里得情形下，我们的算法似乎也是首个确定性解。