利用同簇查询的近似聚类

Ashtiani 等人提出了一种半监督主动聚类框架（SSAC），其中允许学习器向领域专家进行自适应查询。查询的形式为“给定的两点是否属于同一个最优聚类？”在许多聚类场景中，此类同簇查询是可行的。Ashtiani 等人展示了此类查询的威力，他们证明了 $k$-means 聚类问题的任何实例在附加间隔假设下，如果允许进行 $O(k^2 \log{k} + k \log{n})$ 次同簇查询，则可以被高效求解。这很令人感兴趣，因为 $k$-means 问题即使在有间隔假设的情况下也是 $\mathsf{NP}$-hard 的。在本文中，我们将 Ashtiani 等人的工作扩展到近似设定，证明了少量此类同簇查询使得人们能够为 $k$-means 问题获得多项式时间的 $(1 + \varepsilon)$-近似算法，而无需对输入数据集作任何间隔假设。这同样令人感兴趣，因为对于固定常数 $0 < c < 1$，$k$-means 问题在因子 $(1 + c)$ 内近似是 $\mathsf{NP}$-hard 的。所使用的同簇查询数量为 $\textrm{poly}(k/\varepsilon)$，与数据集大小 $n$ 无关。我们的算法基于 $D^2$-采样技术。我们还给出了同簇查询数量的条件性下界，证明了如果指数时间假设（ETH）成立，则任何此类高效查询算法都需要进行 $\Omega \left(\frac{k}{\textrm{poly} \log k} \right)$ 次同簇查询。我们的算法可以扩展到预言机有故障的情况。关于 $k$-means++ 播种算法，我们展示的另一个结果是，在 SSAC 框架内对 $k$-means++ 播种算法进行微小修改，即可将其转换为常数因子近似算法，而非众所周知的 $O(\log{k})$-近似算法。