具有强与弱距离预言机的度量聚类与最小生成树

我们研究度量空间 $(\mathcal{X},d)$ 中的优化问题，其中我们可以通过两种方式计算距离：通过返回精确距离 $d(x,y)$ 的“强”预言机，以及通过返回距离 $\tilde{d}(x,y)$ 的“弱”预言机，该距离可能以一定概率被任意破坏。该模型刻画了日益常见的权衡：同时使用昂贵的相似性模型（例如大规模嵌入模型）与较不准确但更廉价的模型。因此，目标是尽可能少地查询强预言机。我们考虑所谓的“点查询”（在点的集合 $S \subset \mathcal{X}$ 上查询强预言机，并返回所有 $x,y \in S$ 的 $d(x,y)$）以及“边查询”（对单个距离 $d(x,y)$ 进行查询）。我们的主要贡献是在该模型下针对聚类和最小生成树（MST）给出了最优算法与下界。对于 $k$-centers、$k$-median 和 $k$-means，我们给出了仅需 $\tilde{O}(k)$ 次强预言机点查询的常数因子近似算法，并证明任何有界近似都需要 $\Omega(k)$ 次查询。对于边查询，我们的上界与下界均为 $\tilde{\Theta}(k^2)$。令人惊讶的是，对于 MST 问题，我们给出了一个完全不使用强预言机查询的 $O(\sqrt{\log n})$ 近似算法，以及与之匹配的 $\Omega(\sqrt{\log n})$ 下界。我们对算法进行了实证评估，表明其质量与获得所有真实距离的基线算法相当，但仅在极小部分（小于 $1\%$）的点上查询了强预言机。