欧几里得距离几何与正交带路问题

正交带路问题是从 $\delta$-函数在 $\mathbb{R}^n$ 中由有限个点支撑的 $O(n)$ 轨道的自相关或等价的第二时刻来恢复该问题。它是经典带路问题在X射线晶体学中的推广，由此受到冷电子显微镜的启发。本文我们证明，如果 $m > n$，则由 $m$ 个点支撑的、其中至少有 $\ell$ 个点模相等的generic二进制信号的 $O(n)$ 轨道可以从其自相关中恢复。我们还提供了与欧几里得距离几何的联系，并作为我们的主要定理的推论，证明如果 $m > n$，则 $S^{n-1}$ 上由 $m$ 个点的generic集合的 $O(n)$ 轨道可以从其无标签的点间距离中恢复。我们利用欧几里得距离几何的相似性，发展出一种基于当至少有一个点具有不同模量时，其二时刻数据可恢复二进制 $\delta$-函数 $O(n)$ 轨道的多项式时间复杂度算法。在 $\mathbb{R}^3$ 中，算法的复杂度上界为 $O(m^8)$，但我们指出实际情况下复杂度要低得多。我们还演示了该算法对低噪声具有鲁棒性。最后，我们将算法推广到成功恢复所有支撑向量位于同一球面上的情况，在这种情况下我们匹配了 $O(m^8)$ 的时间复杂度。