基于不变量的算法：SO(3) 上轨道恢复的平滑分析

本文研究 $SO(3)$ 上的轨道恢复问题，目标是从带噪且随机旋转的副本中恢复球面上的函数。我们假设该函数是低阶球谐函数的线性组合。这是通过冷冻电镜断层扫描恢复分子三维结构问题的自然抽象。对于可证明地学习生成模型参数，矩方法是理论机器学习的标配。事实证明，基于不变理论的轨道恢复存在矩方法的自然实现。Bandeira 等人 [BBSK+18] 利用不变理论给出了关于噪声水平的样本复杂度的紧界。然而许多关键挑战依然存在：我们能否证明样本复杂度关于信号维度 $n$ 是多项式的界？[BBSK+18] 中的界隐藏了关于 $n$ 未明确指定的常数依赖，且只在 $\sigma^2 \rightarrow \infty$（$\sigma^2$ 为噪声方差）的极限下成立。此外我们能否给出高效算法？我们从平滑分析的角度重新审视这些挑战，假设信号在球谐基下的系数受到小的随机扰动。我们的主要结果是该模型下 $SO(3)$ 上轨道恢复的拟多项式时间算法。我们的方法基于频率行进，依次求解线性方程组以找到更高阶系数。我们的主要技术贡献是证明这些线性方程组具有唯一解、条件良好，且误差在至多对数轮次内复合。我们相信我们的工作为揭示不变理论的算法含义迈出了重要的第一步。