群作用下的估计：从不变量中恢复轨道

我们研究一类轨道恢复问题，其中观测到未知元素 $\mathbb{R}^p$ 的独立副本，每个副本被某个群的随机元素（如 $\mathbb{Z}/p$ 或 $\mathrm{SO}(3)$）线性作用，然后被加性高斯噪声污染。我们证明了以高概率近似恢复该未知元素的群轨道所需样本数的匹配上界与下界。这些基于不变量理论中定量技术的界，给出了估计问题的统计难度与该群的代数性质之间的精确对应。此外，我们给出了计算辅助程序来认证这些性质，在许多感兴趣的情形下计算高效。该模型受信号处理、计算机视觉和结构生物学中几何问题的启发，并适用于冷冻电子显微镜（cryo-EM）中的重建问题，这是一个具有重要实际意义的问题。我们的结果使我们能够验证（对于给定的问题规模）如果 cryo-EM 图像被方差为 $\sigma^2$ 的噪声污染，恢复分子结构所需的图像数量随 $\sigma^6$ 缩放。我们用一个新颖的（尽管计算昂贵）基于次数至多为 3 的不变量特征的 cryo-EM 从头重建算法匹配了该界。我们进一步讨论了如何从混合（或异质）cryo-EM 样本中恢复多个分子结构。