具有噪声鲁棒性的平滑函数模1采样估计及其在相位解缠中的应用

考虑一个未知的平滑函数 $f: [0,1]^d \rightarrow \mathbb{R}$，假设我们给定了 $f$ 的 $n$ 个含噪模1采样，即 $y_i = (f(x_i) + \eta_i)\mod 1$，其中 $x_i \in [0,1]^d$，$\eta_i$ 表示噪声。给定采样 $(x_i,y_i)_{i=1}^{n}$，我们的目标是恢复干净采样 $f(x_i) \bmod 1$ 的平滑、鲁棒估计。我们针对该问题提出了一种自然的方法，其受角度同步框架启发，利用噪声模1采样在单位圆上的角度嵌入进行处理。这等价于求解一个平滑度正则化最小二乘问题——一个二次约束二次规划（QCQP）——其中变量被约束在单位圆上。我们的方法基于求解其松弛问题，该松弛是一个信赖域子问题，因此可高效求解。我们提供了理论保证，证明了其在对抗噪声、随机高斯噪声和伯努利噪声模型下的鲁棒性。据我们所知，这是该问题的首批理论结果。我们通过合成数据上的大量数值模拟，以及用于解缠阶段恢复 $f$ 原始采样（至多一个全局偏移）的简单最小二乘解，展示了方法的鲁棒性与高效性。结果表明，在以去噪后的模1采样为输入时，其在高噪声水平下表现良好。最后，我们还考虑了另外两种利用黎曼流形优化的模1采样去噪方法，包括针对我们公式半定规划松弛的 Burer-Monteiro 方法。对于该问题的二维版本（在雷达干涉测量中有应用），我们能够在个人笔记本电脑上，10秒内求解具有一百万采样点的真实数据实例。