模样本去噪：k-NN 回归与 SDP 松弛的紧性

许多现代应用涉及获取函数 $f$ 的含噪模样本，目标为恢复 $f$ 原始样本的估计。对于 Lipschitz 函数 $f:[0,1]^d \to \mathbb{R}$，假设给定样本 $y_i = (f(x_i) + \eta_i)\bmod 1; \quad i=1,\dots,n$，其中 $\eta_i$ 表示噪声。假设 $\eta_i$ 为零均值独立同分布高斯噪声，且 $x_i$ 构成均匀网格，我们推导出一种两阶段算法，以高概率成立地以一致误差率 $O((\frac{\log n}{n})^{\frac{1}{d+2}})$ 恢复样本 $f(x_i)$ 的估计。第一阶段涉及将 points 嵌入单位复圆，并通过 $k$NN（最近邻）估计量获得 $f(x_i)\bmod 1$ 的去噪估计。第二阶段涉及顺序解绕过程，将第一阶段的去噪模 $1$ 估计解绕。随后可利用样本 $f(x_i)$ 的估计构造函数 $f$ 的估计，具有上述一致误差率。最近，Cucuringu 和 Tyagi 提出了另一种对模 $1$ 数据去噪的方法，其作用于它们在单位复圆上的表示。他们在单位圆的积流形上构造了光滑正则化最小二乘问题，其中光滑性相对于涉及 $x_i$ 的邻近图 $G$ 的拉普拉斯量度量。这是一个非凸二次约束二次规划（QCQP），因此他们提出求解其基于半定规划（SDP）的松弛。我们推导了 SDP 为 QCQP 紧松弛的充分条件。故在这些条件下，QCQP 的全局解可在多项式时间内获得。